Attuatori

Motore in corrente continua

Un motore in corrente continua è costiuito da uno statore a magnete permanente e da un rotore in ferro sul quale sono presenti degli avvolgimenti.

Uno statore a magnete permamente
Un rotore in ferro sul quale sono presenti degli avvolgimenti ed è la parte che ruota. È detto anche armatura.
Il commutatore si occupa di commutare il verso della corrente per sostenere la rotazione stabilendo un collegamento tra rotore e spazzole
Le spazzole sono collegate alla fonte di alimentazione

Image title — Motore in CC Wapcaplet CC BY-SA 3.0

Un motore in corrente continua può essere rappresentato elettricamente dal seguente circuito:

dove \(V_A\) è la tensione applicata all'armatura, \(R\) è la resistenza delle spire, \(L\) è l'induttanza delle spire. \(E_C\) rappresenta la forza controelettromotrice che si oppone alla tensione di armatura quando il motore ruota.

Trascurando l'induttanza \(L\) che a regime si comporta come un cortocircuito, otteniamo la seguente equazione alla maglia:

\[ V_A = R\cdot I + E_C \]

Si può dimostrare che la forza controelettromotrice è legata alla velocità angolare di rotazione \(\omega\) tramite una costante \(K_E\) detta costante elettrica che dipende dal flusso magnetico e dal numero di spire dell'avvolgimento.

\[ E_C = K_E \cdot \omega \]

e dunque l'equazione diventa:

\[ V_A = R\cdot I + K_E \cdot \omega \]

La coppia motrice del motore \(C\) è data dalla relazione:

\[ C_M = K_T \cdot I \]

dove \(K_T\) è la costante meccanica del motore ed ha lo stesso valore, ma unità di misura diversa.

Funzionamento a vuoto

Supponiamo che il motore sia inizialmente fermo, dunque la sua velocità angolare \(\omega\) vale 0 e non sia applicato alcun carico al rotore. Se viene applicata una tensione \(V_A\) ai capi dell'armatura, si ottiene una corrente \(I_S\), detta corrente di spunto che vale:

\[ I_S = \frac{V_A}{R} \]

e si ha una coppia \(C_S\) detta coppia di spunto che vale:

\[ C_S = K_T \cdot I_S = K_T \cdot \frac{V_A}{R} \]

A causa di questa coppia, il motore inizia a ruotare con velocità angolare \(\omega (t)\) variabile nel tempo e quindi viene generata una forza controelettromotrice che si oppone alla tensione di alimentazione:

\[ E_C (t) = K_E \cdot \omega(t) \]

Dopo un certo periodo di tempo \(T_A\), il motore raggiungerà la velocità angolare di regime \(\omega_0\) detta anche velocità a vuoto.

\[\begin{equation} \omega_0 = \frac{V_A}{K_E} \label{eq:omega0} \end{equation}\]

In assenza di carico, ovvero di coppia resistente, si avrà che la forza controelettromotrice avrà raggiunto il valore della tensione di alimentazione, azzerando la corrente \(I\).

\[E_C = V_A \rightarrow V_A = K_E \cdot \omega_R \rightarrow \omega_0 = \frac{V_A}{K_E} \]

Essendo la corrente di regime \(I_R\) = 0, si ha che la coppia motrice va a zero:

\[ C_0 = K_T \cdot I_0 = 0 \]

Nella realtà, questa situazione non può verificarsi, in quanto sono sempre presenti attriti e perdite magnetiche. Per tale motivo, vi è una corrente \(I_0 \neq 0\) dato che la coppia motrice deve compensare la coppia resistente.

Funzionamento sotto carico

Se all'albero del motore viene applicata una coppia contraria al verso di rotazione \(C_L\) detta coppia resistente o frenante, la velocità angolare \(\omega\) diminuisce e viene a circolare una corrente:

\[ I= \frac{V_A - K_E \cdot \omega}{R} \]

Tale corrente, produce una coppia motrice che a regime sarà uguale alla coppia resistente \(C_M = C_L\). Dato che:

\[ I = \frac{C_L}{K_T} \]

Dall'equazione alla maglia, abbiamo:

\[ E_C = V_A - R\cdot I = V_A - R\cdot \frac{C_L}{K_T} \]

Se la posto di \(E_C\) sostituiamo \(K_E \cdot \omega\), otteniamo:

\[ \omega = \frac{V_A}{K_E} - R\cdot \frac{C_L}{K_T^2} \]

Sostituendo \(\omega_0\) dall'equazione \(\eqref{eq:omega0}\) e ponendo:

\[ H = \frac{R}{K_T^2} \]

otteniamo:

\[ \omega = \omega_0 - C_L \cdot H \]

\(H\) è detta costante motore ed è un indice di qualità del motore. Più piccolo è \(H\), minore sarà la perdita di velocità angolare a parità di coppia resistente.

Regime dinamico

I motore in corrente continua è un sistema dinamico caratterizzato da due costanti di tempo:

la costante di tempo elettrica \(\tau_e\)

\[ \tau_e = \frac{L}{R} \]

la costante di tempo meccanica \(\tau_m\)

\[ \tau _m = \frac{R \cdot J } {K_T \cdot K_E} \]

dove \(J\) è il momento di inerzia complessivo del motore collegato al carico.

La funzione di trasferimento del motore in corrente continua, nel funzionamento a vuoto, può essere quindi espressa come:

\[ G(s) = \frac{\Omega (s)}{V_A (s)} = \frac{\frac{1}{K_E}}{(1 + s\cdot \tau_m) \cdot (1 + s\cdot \tau_m) }\]

e generalmente si ha che \(\tau_m \gg \tau_e\).